Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Bất đẳng thức Côsin: Lý thuyết cần nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Bất đẳng thức Côsi hay bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Bài viết hôm nay Trường Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM sẽ giới thiệu một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy và một số dạng bài tập thường gặp. Bạn tìm hiểu!

I. NHỮNG LÝ THUYẾT CẦN BIẾT VỀ TUYÊN BỐ COSIAN

1. Thế nào là bất đẳng thức Côsin?

Bạn đang xem: Bất Đẳng Thức Côsi: Lý Thuyết Cần Nhớ Và Bài Tập Thường Gặp

Tên gọi đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM. Có nhiều cách chứng minh định lý này nhưng tốt nhất là cách chứng minh quy nạp Cauchy.

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số bằng nhau.

+ Phương tiện:

– Bất đẳng thức cos với 2 số thực không âm:

$frac{{a + b}}{2} ge sqrt {ab}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức cos đối với n số thực không âm:

$frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} ge sqrt[n]{{{x_1}{x_2}... {x_n}}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n}$

2. Các dạng đã nêu của bất đẳng thức Côsin

Một. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cossian

Đưa cho $loại hiển thị {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}ldots {{x}_{n}}$ là các số thực dương, ta có:

– Hình thức 1: $displaystyle frac{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+ldots +{{x}_{n}}}}{n}ge sqrt{{{{x}_{ 1}}cdot {{x}_{2}}cdots {{x}_{n}}}}$

– Dạng 2: $loại hiển thị {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+ldots +{{x}_{n}}ge ncdot sqrt[n]{{{{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}cdots }}$

– Dạng 3: $loại hiển thị {{trái( {frac{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+ldots +{{x}_{n}}}}{n}} phải)) }^ {n}}ge {{x}_{1}}cdot {{x}_{2}}cdots {{x}_{n}}$

– Mẫu 4: $displaystyle dfrac{1}{{x_{1}}}+dfrac{1}{{x_{2}}}+ldots +dfrac{1}{{x_{n}}}^{text{3}}ge dfrac {{n^{2}}}{{x_{1}+x_{2}+ldots x_{n}}}$

– Mẫu 5: $loại hiển thị left( {x_{1}+x_{2}+ldots x_{n}} right)left( {dfrac{1}{{x_{1}}}+dfrac{1}{{x_{2} } } +ldots +dfrac{1}{{x_{n}}}} right)ge n^{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $displaystyle {{x}_{1}}={{x}_{2}}=cdots ={{x}_{n}}$

b. Một dạng đặc biệt của bất đẳng thức Côsin

Là các trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát trên khi n=2, n=3.

c. Một số bất đẳng thức suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

D. Chú ý khi sử dụng AM – GM. bất bình đẳng

Khi áp dụng bất đẳng thức cosin các số không được âm
Bất đẳng thức côsi thường được áp dụng khi trong BDT cần chứng minh có tổng và tích
Điều kiện để có dấu ‘=’ là các số bằng nhau
Bất đẳng thức cosic cũng có dạng thường dùng

Xem thêm bài viết hay: Học ngành kế toán – đừng lo thiếu việc làm

Cho hai số:

x2+y2≥2xy.
x2+y2≥(x+y)22
xy≤(x+y2)2

Cho ba số: abc≤a3+b3+c33,abc≤(a+b+c3)3

3. Hậu quả Côsi . bất bình đẳng

+ $loại hiển thị {{x}^{2}}+{{y}^{2}}ge 2xy;2left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} phải) ge { {trái( {x+y} phải)}^{2}};sqrt{{2left( {x+y} phải)}}ge sqrt{x}+sqrt{y}$

+ $loại hiển thị {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xyge frac{{3{{{trái( {x+y} phải)}}^{2}}}}{ 4 }$

+ $loại hiển thị {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}ge xy+yz+zx$

+ $kiểu hiển thị 3trái( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} phải)ge {{trái( {x+y+z} phải ) }^{2}}ge 3left( {xy+yz+zx} phải)$

+ $loại hiển thị {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}} { { y}^{2}}ge xyzleft( {x+y+z} phải)+3left( {{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^ { 4 }}} phải)ge {{trái( {xy+yz+zx} phải)}^{2}}ge 3xyzleft( {x+y+z} phải)$

4. Chứng minh Cauchy

Một. Các trường hợp tất cả các giá trị đều bằng nhau

Nếu tất cả các giá trị đều bằng nhau:

tức là tổng của chúng là nx1 nên trung bình cộng là x1; và tích của các số dưới căn bậc hai là x1n, vì vậy trung bình cộng nhân bây giờ là x1; vậy thứ nhất và thứ hai bằng nhau, điều này phải được chứng minh.

b. Các trường hợp các giá trị không bằng nhau

Nếu tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì giá trị trung bình lớn hơn giá trị trung bình nhân. Rõ ràng điều này chỉ xảy ra khi n > 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia thành nhiều trường hợp cần chứng minh.

c. Trường hợp n = 2

Nếu n = 2 thì tồn tại hai giá trị x1 và x2, từ giả thiết trên ta có:

$bắt đầu{align} x_1 & ne x_2 \[3pt] x_1 - x_2 & ne 0 \[3pt] trái( x_1 - x_2 phải) ^2 & > 0 \[3pt] x_1^2 – 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 0 \[3pt] x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 \[3pt] trái( x_1 + x_2 phải) ^2& > 4 x_1 x_2 \[3pt] Bigl( frac{x_1 + x_2}{2} Lớn hơn)^2 & > x_1 x_2 \[3pt] frac{x_1 + x_2}{2} & > sqrt{x_1 x_2} end{align} “> điều cần chứng minh. D. Trường hợp n = 2k Xét các trường hợp n = 2k, với k là số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng quy nạp toán học. Trong trường hợp cơ sở, k = 1, tức là n = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên. Khi, với mọi giá trị của k > 1, giả sử bất đẳng thức đúng với n = 2k−1 và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi n = 2k. Để làm như vậy, các bước như sau: <img class=$

đối với bất đẳng thức thứ nhất, cả hai vế chỉ bằng nhau nếu cả hai điều sau đây đều đúng:

$x_1 = x_2 = cdots = x_{2^{k-1}}$
$x_{2^{k-1}+1} = x_{2^{k-1}+2} = cdots = x_{2^k}$

(Trong trường hợp này, trung bình cộng thứ nhất và trung bình nhân thứ nhất là x1, và trung bình cộng thứ hai và trung bình nhân thứ hai cũng vậy); và ở bất đẳng thức thứ hai, hai vế bằng nhau chỉ khi hai giá trị trung bình cộng bằng nhau. Vì không phải tất cả 2 k đều bằng nhau, nên không thể có cả hai bất đẳng thức bằng nhau, ta biết rằng:

Xem thêm bài viết hay: Viết đoạn văn tả cô giáo đang giảng bài lớp 5 ngắn gọn, hay nhất (8 Mẫu)

$frac{x_1 + x_2 + cdots + x_{2^k}}{2^k} > sqrt[2^k]{x_1 x_2 chấm x_{2^k}}”> (điều phải chứng minh). D. Trường hợp n < 2k Nếu n không phải là số mũ tự nhiên cơ số 2 thì nó chắc chắn nhỏ hơn một số nào đó có cấp số tự nhiên cơ số 2, vì dãy 2, 4, 8,,…, 2k,… không bị chặn. bên trên. Như vậy, không mất tính tổng quát, cho m giá trị tuân theo một cấp số nhân tự nhiên cấp 2 lớn hơn n. Vì vậy, nếu chúng ta có n số, chúng ta có thể biểu diễn giá trị trung bình của α và được khai triển như sau: <img class=$

Sau đó chúng tôi có:

$begin{align} alpha & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n}{n} \[6pt] & = frac{frac{m}{n} left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)}{m} \[6pt] & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n + frac{mn}{n} left( x_1 + x_2 + cdots + x_n right)}{m} \[6pt] & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n + left( mn right) alpha}{m} \[6pt] & = frac{x_1 + x_2 + cdots + x_n + x_{n+1} + cdots + x_m}{m} \[6pt] & > sqrt[m]{x_1 x_2 cdots x_n x_{n+1} cdots x_m} \[6pt] & = hình vuông[m]{x_1 x_2 cdots x_n alpha^{mn}},, end{align} “> Vì thế <img class=$ với x > 0

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x > 0 ta có:

$x + frac{7}{x} ge 2sqrt {x.frac{7}{x}} = 2sqrt 7$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = frac{7}{x} Leftrightarrow {x^2} = 7 Leftrightarrow x = sqrt 7$ (vì x > 0)

Vì vậy, tối thiểu $A = 2sqrt 7 Leftrightarrow x = sqrt 7$

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện $frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = sqrt x + sqrt y$

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$frac{1}{x} + frac{1}{y} ge 2sqrt {frac{1}{x}.frac{1}{y}}$

$Leftrightarrow frac{1}{2} ge frac{2}{{sqrt {xy} }} Leftrightarrow sqrt {xy} ge 4$

Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

$sqrt x + sqrt y ge 2sqrt {sqrt {xy} } = 2sqrt 4 = 4$

Các “=” dấu xảy ra khi và chỉ khi $left{ begin{array}{l} x = y\ frac{1}{x} + frac{1}{y} = frac{1}{2} end{array} phải. Trái phảimũi tên x = y = 4$

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài tập 3: Chứng minh rằng với ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

$frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} ge frac{3}{2}$

Nhận xét: Bài toán đạt dấu bằng nếu và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ dùng phương pháp cộng trừ như sau:

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm a, b, c ta có:

Xem thêm bài viết hay: C2H6 + Cl2 → HCl + C2H5Cl

$frac{a}{{b + c}} + frac{{b + c}}{4} + frac{1}{{2a}} ge 3sqrt[3]{{frac{a}{{b + c}}.frac{{b + c}}{4}.frac{1}{{2a}}}} = 3sqrt[3]{{frac{1}{8}}} = frac{3}{2}$

Tương tự ta có $frac{b}{{c + a}} + frac{{c + a}}{4} + frac{1}{{2b}} ge frac{3}{2}$ Và $frac{c}{{a + b}} + frac{{a + b}}{4} + frac{1}{{2c}} ge frac{3}{2}$

Cộng cả hai vế ta có:

$frac{a}{{b + c}} + frac{{b + c}}{4} + frac{1}{{2a}} + frac{b}{{c + a}} + frac{{c + a}}{4} + frac{1}{{2b}} + frac{c}{{a + b}} + frac{{a + b}}{4} + frac{1}{{2c} } ge 3.frac{3}{2} = frac{9}{2}$

$Mũi tên trái phải frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} + frac{{2left( {a + b + c } phải )}}{4} + frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} ge frac{9}{2}$

$Leftrightarrow frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} + frac{{a + b + c}}{2} + frac{{a + b + c}}{2} ge frac{9}{2}$

$Leftrightarrow frac{a}{{b + c}} + frac{b}{{c + a}} + frac{c}{{a + b}} ge frac{9}{2} - 3 = frac{3 }{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

b. Bài tập thêm:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Một, $B = frac{{trái( {x + 4} phải)trái( {x + 9} phải)}}{x}$ với x > 0

(gợi ý: biến đổi $B = frac{{trái( {x + 4} phải)trái( {x + 9} phải)}}{x} = frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + frac{{36}}{x}$ sau đó áp dụng bất đẳng thức Cosi)

b, $C = frac{{{{trái( {x + 10} phải)}^2}}}{x}$ với x > 0

c, $D = frac{x}{3} + frac{3}{{x - 2}}$ với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cosi)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + frac{1}{y} + frac{4}{{x - y}}$ với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi $P = x - y + frac{4}{{x - y}} + y + frac{1}{y}$ )

Bài tập 3: Với a, b, c là các số thực không âm, hãy chứng minh:

$trái( {a + b + c} phải)trái( {frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c}} phải) 9$

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm a, b, c)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$frac{{b + c}}{a} + frac{{c + a}}{b} + frac{{a + b}}{c} ge 6$

(khuyến nghị sử dụng phương pháp chiếm ưu thế)

Như vậy các bạn vừa tìm hiểu lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp của bất đẳng thức Côsin. Hi vọng với những chia sẻ của cô, các em sẽ nắm chắc hơn những kiến thức Đại số 9 vô cùng quan trọng này. Xem thêm các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai tại link này!

Đăng bởi: Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM

Thể loại: Giáo dục

Bản quyền bài viết thuộc về trường Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM. Mọi sao chép đều là gian lận! Nguồn chia sẻ: https://trungcapyduoctphcm.edu.vn https://trungcapyduoctphcm.edu.vn/bat-dang-thuc-co-si-ly-thuyet-can-ghi-nho-va-cac-dang-bai- tap-thuong-gap/

Bạn thấy bài viết
Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp
có thoải mãn đươc vấn đề bạn đang tìm hiểu không?, nếu không hãy comment góp ý thêm về
Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp
bên dưới để Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: trungcapyduoctphcm.edu.vn

Nhớ để nguồn bài viết này:
Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp
của website trungcapyduoctphcm.edu.vn

Chuyên mục: Giáo dục

Bất đẳng thức Côsin: Lý thuyết cần nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Viết một bình luận Hủy