Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

Nguyên hàm Toán 12 là một nội dung quan trọng trong bộ môn Đại số Giải tích lớp 12 và luyện thi đại học. Để giúp các em nắm vững kiến ​​thức và ôn tập hiệu quả, Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM đã tổng hợp lý thuyết chức năng nguyên thủy Toán 12 gồm các định nghĩa, định lý, công thức nguyên hàm lớp 12 và các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản có lời giải chi tiết trong bài viết dưới đây. Các bạn cùng xem và học hỏi nhé!

Lý thuyết Toán 12 Nguyên thủy

Lý thuyết nguyên hàm Toán 12 (Nguồn: Internet)

Phần nội dung này sẽ tập trung vào phần lý thuyết để các em nắm được bản chất từ ​​đó vận dụng linh hoạt trong việc giải bài tập.

Định nghĩa nguyên thủy

  • Cho hàm số f (x) xác định trên K (K là khoảng, khoảng hay nửa khoảng).
  • Hàm F (x) được cho là nguyên hàm của hàm f (x) trên K nếu F ‘(x) = f (x) với mọi x ∈ K.

Định lý nguyên thủy

Nguyên hàm có hai định lý cơ bản mà bạn cần nhớ:

  • Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên K, thì với mỗi hằng số C, hàm G (x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm của f (x) trên K.
  • Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm f (x) trên K, thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, trong đó C là hằng số. Do đó F (x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f (x) trên K. Kí hiệu ∫f (x) dx = F (x) + C.

chương trình thử nghiệm

Thuộc tính nguyên thủy

Dưới đây là 3 thuộc tính phổ biến của Nguyên hàm toán 12:

  • Tính năng 1:
(\smallint f(x)dx)'= f(x) \small{\text{ và }} \smallint f'(x)dx = f(x) + C
  • Tính năng 2:
\smallint kf(x)dx = k\smallint{f(x)dx} \small{\text{ với k là hằng số khác 0}}
  • Tính năng 3:
\smallint [f(x) \pm g(x)]dx = \smallint f(x)dx \pm \smallint g(x)dx

Bảng tổng hợp 12 công thức toán nguyên thủy thông dụng

Bảng công thức toán 12 số nguyên hàm thường gặp

>>> Xem thêm: Bảng Công Thức Nguyên Tố Đầy Đủ, Chi Tiết Và Cách Giải Nguyên Tố

Video học toán lớp 12, lý thuyết và giải bài tập

Kiến thức toán 12, giải bài tập toán 12

> Xem thêm: Phép toán đạo hàm

Giải bài tập SGK toán 12 nguyên hàm

Đây là lời giải bài tập SGK Toán 12 nguyên bản và ứng dụng lý thuyết trên đây, các em có thể tham khảo để nắm rõ hơn phần kiến ​​thức. chức năng nguyên thủy toán 12.

Top 11 trang web học toán trực tuyến

Giải bài 1 SGK Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK

Chủ đề

Cặp hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm còn lại?

\begin{aligned}
&a.\ e^{-x} \text{ và } -e^{-x}\\
&b.\ sin2x \text{ và }sin^2x\\
&c. \left( 1-\frac2x \right)^2e^x \text{ và } \left( 1-\frac4x \right) e^x
\end{aligned}

Câu trả lời

\begin{aligned}
&a. \text{ Ta có: }\ [e^{-x}]'= -e^{-x}\\
&\text{Vậy }e^{-x} \text{ là nguyên hàm của }-e^{-x}\\
&b.\text{ Ta có: }\ [sin^2x]'= 2xinxcosx=sin2x\\
&\text{Vậy }sin^2x \text{ là nguyên hàm của }sin2x\\
&c.\text{ Ta có: }\\
& \left[\left( 1-\frac4x\right)e^x\right]'\\
&=\left( 1-\frac4x\right)'e^x+\left( 1-\frac4x\right)(e^x)'\\
&=e^x\left[ 1-\frac4x+\frac{4}{x^2}\right]=\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
&\text{Vậy }\left( 1-\frac4x\right)e^x \text{ là nguyên hàm của }\left( 1-\frac2x\right)^2e^x\\
\end{aligned}

Giải bài 2 SGK Toán 12: Nguyên hàm Trang 100 SGK

Chủ đề:

\begin{aligned}
& \small \bold{\text{Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:}}
\\
& \small \text{a. } f(x) = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small \text{b. } f(x) = \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small \text{c. } f(x) = \frac{1}{sin^2x.cos^2x}
\\
& \small \text{d. } f(x) = sin5x.cos3x
\\
& \small \text{e. } f(x) = tan^2x
\\
& \small \text{g. } f(x) = e^{3-2x}
\\
& \small \text{h. } f(x) = \frac{1}{(1+x)(1-2x)}
\\
& \small \bold{\text{Lời giải:}}
\\
& \small \text{a. } \int \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}}
\\
& \small = \int \left( x + x^{\frac12} + 1 \right). x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \int \left( x^{\frac23} + x^{\frac16} + x^{\frac{-1}{3}} \right)dx
\\
& \small = \int x^{\frac23}dx + \int x^{\frac16}dx + \int x^{\frac{-1}{3}}dx
\\
& \small = \frac35x^{\frac53} + \frac67x^{\frac76} + \frac32x^{\frac23} + C
\\
& \small = \frac35.x\sqrt[3]{x^2} + \frac67.x\sqrt[6]{x} + \frac32.\sqrt[3]{x^2} + C
\\
& \small \text{b. } \int \frac{2^x - 1}{e^x}
\\
& \small = \int \left[ \left( \frac2e \right)^x - \left( \frac1e \right)^x \right]
\\
& \small = \int \left( \frac2e \right)^xdx - \int e^{-x}dx
\\
& \small = \frac{\left( \frac2e \right)^x}{ln\left( \frac2e \right)} + e^{-x} + C
\\
& \small = \frac{2^x}{e^x.(ln2 - 1)} + e^{-x} + C
\\
& \small \text{c. } \int \frac{1}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \frac{sin^2x + sin^2x}{sin^2x.cos^2x}dx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{sin^2x} \right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x}dx+ \int \frac{1}{sin^2x}dx
\\
& \small = tanx - cotx + C
\\
& \small \text{d. } \int sin5x.cos3xdx
\\
& \small = \int \frac12(sin8x + sin2x)dx
\\
& \small = \int \frac12sin8xdx + \int \frac12sin2xdx
\\
& \small = -\frac{1}{16}cos8x - \frac14cos2x + C
\\
& \small \text{e. } \int tan^2xdx
\\
& \small = \int \left( \frac{1}{cos^2x - 1}\right)dx
\\
& \small = \int \frac{1}{cos^2x - 1}dx - \int dx
\\
& \small = tanx - x + C
\\
& \small \text{g. } \int e^{3-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt t = 3-2x}
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int e^{3-2x}dx
\\
& \small = \int e^t.-\frac{dt}{2}
\\
& \small = -\frac12 \int e^t dt
\\
& \small = -\frac12e^t + C
\\
& \small = -\frac12e^{3-2x} + C
\\
& \small \text{h. } \int \frac{1}{(1+x)(1-2x)}dx
\\
& \small = \int \left[ \frac{1}{3(1+x)} + \frac{2}{3(1-2x)} \right]dx
\\
& \small = \frac13 \int \frac{1}{1+x}dx + \frac23 \int \frac{1}{1-2x}dx (*)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1+x
\\
& \small \implies dt = dx
\\
& \small \int \frac{1}{1+x}dx
\\
& \small = \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = ln|t| + C_1 = ln|1+x| + C_1 (1)
\\
& \small \text{Xét } \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small \text{Đặt } t = 1-2x
\\
& \small \implies dt = -2dx
\\
& \small \iff dx = -\frac{dt}{2}
\\
& \small \int \frac{1}{1-2x}dx
\\
& \small = -\frac12 \int \frac{1}{t}dt
\\
& \small = -\frac12ln|t| + C_2 = -\frac12ln|1-2x| + C_2 (2)
\\
& \small \text{Từ (1) và (2)}
\\
& \small (*) = \frac13 ln|1+x| - \frac13ln|1-2x| + C
\\
& \small =  \frac13 ln|\frac{1+x}{1-2x}| + C
\end{aligned}

Giải bài 3 Trang 101 SGK Toán 12

Chủ đề:

\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int (1-x)^9dx \text{ (đặt } u = 1 - x)
\\
& \small \text{b. } \int x(1+x^2)^{\frac32}dx \text{ (đặt } u = 1 + x^2)
\\
& \small \text{c. } \int cos^3x.sinxdx \text{ (đặt } t = cosx)
\\
& \small \text{d. } \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} \text{ (đặt } u = e^x + 1)
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. Đặt } u = 1 - x \implies du = -dx \iff dx = - du
\\
& \small \int (1-x)^9dx = -\int u^9du = -\frac{u^{10}}{10} + C = -\frac{(1-x)^{10}}{10} + C
\\
& \small \text{b. Đặt } u = 1 + x^2 \implies du = 2xdx \iff xdx = \frac{du}{2}
\\
& \small \int x(1+x^2)^{\frac32}dx = \frac12 \int u^{\frac32}du = \frac15u^{\frac52} + C = \frac15(1 + x^2)^{\frac52} + C
\\
& \small \text{c. Đặt } t = cosx \implies dt = -sinxdx \iff sinxdx = -dt
\\
& \small \int cos^3x.sinxdx = -\int t^3dt = -\frac{t^4}{4} + C = -\frac{cos^4x}{4} + C
\\
& \small \text{d. Đặt } u = e^x + 1 \implies du = e^xdx
\\
& \small \int \frac{dx}{e^x + e^{-x} + 2} = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1 + 2e^x}dx = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}dx = \int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^x + 1} + C
\end{aligned}

Giải bài 4 Trang 101 SGK Toán 12

Chủ đề:

\begin{aligned}
& \small \text{Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính các nguyên hàm dưới đây:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Phương pháp nguyên hàm từng phần:}
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = u(x)
\\
dv = v'(x)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = u'(x)dx
\\
v = v(x)
\end{cases}
\\
& \small \implies \int f(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx
\\
& \small \text{Lời giải:}
\\
& \small \text{a. } \int xln(1+x)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = ln(1+x)
\\
dv = xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = \frac{1}{x+1}dx
\\
v = \frac{x^2}{2}
\end{cases}
\\
& \small \int xln(1+x)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \int \frac{x^2}{2(x+1)}dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \int \left( x-1+\frac{1}{x+1} \right)dx
\\
& \small = \frac{x^2}{2}ln(1+x) - \frac12 \left[ \frac{x^2}{2} - x + ln(1+x) \right]+ C
\\
& \small = \frac12(x^2-1)ln(1+x) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C
\\
& \small \text{b. } \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x^2+2x-1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = (2x+2)dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x^2+2x-1)e^xdx
\\
& \small = (x^2+2x-1)e^x - 2\int (x+1)e^xdx \ (*)
\\
& \small \text{Xét } \int (x+1)e^xdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x+1
\\
dv = e^xdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = e^x
\end{cases}
\\
& \small \int (x+1)e^xdx = (x+1)e^x - \int e^xdx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C
\\
& \small (*) = (x^2+2x-1)e^x - 2xe^xdx + C
\\
& \small = (x^2-1)e^x + C
\\
& \small \text{c. } \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
dv = sin(2x+1)dx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = -\frac12cos(2x+1)
\end{cases}
\\
& \small \int xsin(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac12 \int cos(2x+1)dx
\\
& \small = -\frac12xcos(2x+1) + \frac14sin(2x+1)dx + C
\\
& \small \text{d. } \int (1-x)cosxdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = 1-x
\\
dv = cosdx
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = - dx
\\
v = sinx
\end{cases}
\\
& \small \int (1-x)cosxdx
\\
& \small = (1-x)sinx + \int sinxdx
\\
& \small = (1-x)sinx - cosx + C
\end{aligned}

>>> Xem thêm: Phần Nguyên hàm – Công thức và Phương pháp giải

Xem thêm bài viết hay:  Phenolphtalein Là Gì? Tính Chất Đặc Trưng Và Ứng Dụng Phenolphtalein

Hàm lượng giác 11 – Lý thuyết và các công thức cơ bản cần nhớ

Giải câu 6 Trang 99 SGK Toán 12

Chủ đề:

\begin{aligned}
& \small \text{a. Cho } \int (x-1)^{10}dx. \text{ Đặt u=x-1, hãy viết } (x-1)^{10}dx \text{ theo u và du}
\\
& \small \text{b. Cho } \int \frac{lnx}{x}dx. \text{ Đặt } x=e^t, \text{ hãy viết } \int \frac{lnx}{x}dx \text{ theo t và dt}
\\
& \small \text{Lời giải}
\\
& \small \text{a. Theo đề bài, ta đặt } u=x-1 \implies x=u+1 \implies dx = du \implies (x-1)^{10}dx = u^{10}du
\\
& \small \text{b. Theo đề bài, ta đặt } x=e^t \implies dx = e^tdt \implies \frac{lnx}{x}dx = \frac{ln(e^t)}{e^t}e^tdt = tdt
\\
\end{aligned}

Giải câu 7 Trang 99 SGK Toán 12

Chủ đề:

Ta có: (xcosx) ′ = cosx – xsinx hoặc −xsinx = (xcosx) ′ – cosx. Tính ∫ (xcosx) ′ dx và ∫cosxdx. Từ đó tính ∫xsinxdx

Câu trả lời:

Ta có (xcosx) ′ dx = xcosx + CĐầu tiên và cos⁡xdx = sin⁡x + C2

Dựa vào công thức trong bài toán, ta có

∫xsinxdx = −∫ (−xsinx) dx = −∫[(xcosx)′ − cosx]dx = −∫ (xcosx) dx + cosxdx = −xcos⁡x – CĐầu tiên + sin⁡x + C2 = −xcosx + sinx + C

Giải câu 8 Trang 99 SGK Toán 12

Chủ đề:

Gọi P (x) là một đa thức của x. Từ ví dụ 9, lập bảng theo mẫu dưới đây, sau đó điền vào ô trống với u và dv thích hợp bằng phương pháp đạo hàm riêng.

∫P (x) exdx ∫P (x) cosxdx ∫P (x) lnxdx
u P (x)
dv exdx

Câu trả lời:

∫P (x) exdx ∫P (x) cosxdx ∫P (x) lnxdx
u P (x) P (x) lnx
dv exdx cosxdx P (x) dx

Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM

Giáo dục Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.

Xem thêm bài viết hay:  TOP 7 các món ăn đi cắm trại dễ làm nên chuẩn bị để mang theo khi đi du lịch

Bảng và công thức nguyên thủy đầy đủ và chi tiết

Tại Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến ​​thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Giáo dục Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.

Với ứng dụng tích hợp nền tảng công nghệ và thông tin dữ liệu, mỗi lớp học của Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên của Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến ​​thức dễ dàng hơn.

Xem thêm bài viết hay:  Lý tưởng sống là gì mà được ví như ngọn đèn chỉ đường của cuộc đời mỗi người?

Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Trong bài viết trên, Team Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM đã tổng hợp và chia sẻ đến các bạn nội dung Nguyên hàm Toán 12 lý thuyết và lời giải đầy đủ, chi tiết các bài tập trong SGK. Mong rằng các em sẽ nắm vững phần kiến ​​thức này, từ đó học tốt môn Toán hơn. Hãy theo dõi Trung Cấp Y Dược Tại TPHCM mỗi ngày để biết thêm nhiều kiến ​​thức bổ ích nhé! Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Nhớ để nguồn: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết, Công Thức Và Các Dạng Bài Tập

Viết một bình luận